1º Ciclo de Seminários e Integração Científica em Matemática e Aplicações

Palestrante: Professor Marco Florentino

Resumo da palestra:
Sistemas de Filippov são uma extensão da Teoria de Sistemas Dinâmicos, que lida com equações diferenciais com descontinuidades no lado direito. De uma forma mais simples, são modelos matemáticos usados para descrever sistemas cuja dinâmica muda abruptamente em determinados pontos ou superfícies do espaço de estado. Essa descontinuidade é o que os diferencia dos sistemas dinâmicos tradicionais, que pressupõem uma evolução suave e contínua. Esta teoria foi desenvolvida pelo matemático russo Aleksei Fedorovich Filippov (1923-2006) na década de 1960. O centro da teoria está na definição de uma solução global, que permite lidar com as descontinuidades de forma rigorosa. Essencialmente, a superfície de descontinuidade divide o espaço de estado em duas ou mais partes. Deste modo, quando a trajetória do sistema atinge a superfície de descontinuidade, ela pode seguir uma trajetória deslizante ao longo dessa superfície ou cruzar para outro regime, dependendo das propriedades do campo vetorial em ambos os lados da descontinuidade. A versatilidade dos sistemas de Filippov para modelar fenômenos com mudanças bruscas os torna aplicáveis em diversas áreas da Ciência e Engenharia, como, por exemplo:

– Engenharia de Controle: O controle de modos deslizantes (sliding mode control) é um exemplo direto, em que a estratégia de controle força o sistema a seguir uma trajetória deslizante em uma superfície de comutação para alcançar robustez e desempenho.
– Mecânica: Sistemas mecânicos com atrito, como o atrito de Coulomb, são frequentemente modelados com descontinuidades, já que a força de atrito muda de direção e magnitude dependendo se o objeto está em movimento ou em repouso.
– Eletrônica: Circuitos elétricos com componentes como diodos ou chaves de comutação (switches) podem ser descritos por equações de Filippov. A dinâmica de osciladores ou conversores de potência, por exemplo, pode envolver mudanças abruptas de estado.
– Biologia e Medicina: Modelos de crescimento populacional com extinção abrupta, ou modelos de transmissão de doenças que incluem a vacinação em massa (em que há uma mudança brusca na taxa de recuperação da população).
– Economia: Sistemas econômicos que exibem crises abruptas ou mudanças de regime. Por exemplo, a dinâmica de preços que muda de forma descontínua após uma intervenção do governo ou um evento de mercado.

A principal vantagem de usar a abordagem de Filippov é a capacidade de modelar descontinuidades de forma consistente e matematicamente rigorosa, permitindo a análise de fenômenos que, de outra forma, seriam difíceis de descrever com a Teoria de Sistemas Dinâmicos tradicional.

Nesta palestra, veremos uma noção introdutória da teoria, basicamente apresentaremos a denição formal de uma trajetória global do Sistema de Filippov, apontando as principais diferenças da teoria clássica, e apresentaremos publicações recentes que aplicam a teoria a diversas áreas.